viernes, 27 de noviembre de 2015

El problema de Monty Hall

Imagina que vas a un concurso de televisión. En la última prueba te enseñan tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, que es el gran premio del programa. Detrás de las otras dos  puertas hay cabras, que son premios de broma. El presentador te pide que elijas una de las puertas y tú lo haces, pero después pasa algo más. El presentador, que sabe qué es lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las dos que quedan y te enseña una de las cabras. Entonces te pregunta: ¿te quedas con la puerta que elegiste originalmente o cambias a la que queda sin abrir? La pregunta es ¿qué te conviene hacer?

Ante este enunciado, conocido como el problema de Monty Hall, lo primero que se suele hacer es dar la que yo llamo la solución intuitiva: “si quedan dos puertas, ¿qué más da cuál escojamos? Las dos tienen la misma probabilidad. Da igual cambiar que no cambiar”. Si has dado esta solución no te preocupes: has fallado (como veremos abajo) pero grandes mentes han fallado contigo.

El problema de Monty Hall es uno de mis acertijos favoritos, por dos razones. La primera es por todas las circunstancias que rodean su publicación. El problema se hizo famoso en 1990, cuando Marilyn vos Savant, supuestamente la persona con mayor coeficiente intelectual del mundo, lo recibió por correo. Savant tenía una columna de opinión en la revista Parade donde respondía preguntas matemáticas que le habían formulado los lectores. Publicó el problema con la respuesta correcta (es más conveniente cambiar de puerta)… y la que se armó.

Más de diez mil respuestas diciendo que estaba equivocada. Muchas de las cartas venían de profesores y doctores universitarios. Las cuatro columnas que Savant dedicó al problema pueden encontrarse en su sitio web, con algunas de las cartas más notorias. La mayoría rebosan paternalismo (“deja que te explique”, “coge un manual básico de matemáticas”, “no ves tu error aunque te han corregido al menos tres matemáticos”), son hostiles (“ya hay bastante analfabetismo matemático en este país y no necesitamos que la persona con el mayor CI del mundo propague más. ¡Vergüenza debería darte!”) o provienen directamente de la caverna (“quizás las mujeres ven los problemas matemáticos de forma diferente que los hombres”).

Esta es la primera razón por la cual me encanta este problema: porque destapó el machismo y el clasismo de parte de la comunidad académica. Machismo y clasismo, porque Savant no sólo era mujer sino también pobre e hija de inmigrantes, razón por la cual no había podido cursar estudios formales de matemáticas. Yo soy muy mío para mis cosas y me ha dado por pensar que, si Savant hubiera sido un hombre de la academia, todos los señores listísimos que escribieron indignados se lo habrían pensado dos veces antes de tomar el bolígrafo y, aunque al final hubieran escrito, no lo habrían hecho con tanta condescendencia y agresividad.

La segunda razón por la que me gusta este problema es porque me ha costado mucho entenderlo. Yo aceptaba, casi como artículo de fe, la solución correcta (conviene cambiar de puerta), pero no era capaz de entenderla. Sé que no soy la única persona a la que le pasa: tengo algunos conocidos que han leído varias formas distintas de explicar el problema y no les entra en la cabeza. Así que voy a probar yo, a ver si tengo más suerte.

Pero lo primero es lo primero: aquí puedes jugar al problema de forma interactiva. Compruébalo tú mismo, y mira qué porcentaje de veces ganas cuando cambias y qué porcentaje de veces ganas cuando te mantienes. Hazlo hasta que te convenzas de que ambas soluciones (cambiar y no cambiar) no son idénticas y, por tanto, no es irrelevante cuál escojas. Venga, aquí te espero.

¿Ya? Bien, quizás te estés preguntando: ¿por qué pasa esto? ¿No hay dos puertas y, por tanto, una probabilidad del 50% para cada una? ¿Cómo es que cambiar de puerta aumenta tus probabilidades de ganar? Voy a responder: el quid de la cuestión está en darse cuenta de que el presentador, cuando abre una de las puertas, está añadiendo información al problema. ¿Qué información? Vamos a verlo:

Antes de que el presentador abra la puerta, cambiar te da, efectivamente, lo mismo. No sabes qué efectos tendrá un cambio y todas las probabilidades son iguales:
  • Si inicialmente elegiste la puerta del coche (prob. = 1/3), cambiar te llevará necesariamente a una puerta con cabra, con lo cual pierdes.
  • Pero si inicialmente elegiste una puerta con cabra (prob. = 2/3), cambiar puede llevarte a la otra puerta con cabra (la mitad de las veces, es decir, 1/3), con lo cual pierdes igual, o a la puerta con coche (la otra mitad de las veces, es decir, 1/3), con lo cual ganas.

En este caso cambiar de puerta es como hacer la elección original: dos de cada tres veces acabarás ante una cabra sin que puedas hacer nada para evitarlo.

Pero después de que el presentador abra la puerta, ya sabes qué efecto tendrá tu cambio: como ahora sólo queda una puerta con cabra y una puerta con coche, ya no existe la probabilidad de quedarte igual (pasar de cabra a cabra), sino que necesariamente la segunda puerta contiene un premio distinto al que hay tras la puerta que escogiste en primer lugar. Es decir:
  • Si inicialmente elegiste la puerta del coche (prob. = 1/3), cambiar te llevará necesariamente a una puerta con cabra, como la otra vez.
  • Pero si inicialmente elegiste una puerta con cabra (prob. = 2/3), cambiar te llevará necesariamente a una puerta con coche.


¿Qué es más probable, que tras la primera elección estés ante una puerta con cabra o ante una puerta con coche? Acabamos de verlo: ante una puerta con cabra, porque hay dos de tres. La acción del presentador te permite “darle la vuelta” a esa probabilidad: las probabilidades de que en la primera elección hayas seleccionado una puerta perdedora se convierten en probabilidades de ganar, y viceversa. Ése es el truco del problema.

¿Aún no lo entiendes? Quizás verlo gráficamente te ayude. Échale un ojo a esta imagen del sitio Estadística para Todos: podrás comprobar cómo, dos de cada tres veces que cambias, ganas.

El problema de Monty Hall es, como acabamos de ver, contraintuitivo. Nos cuesta aceptar que si hay dos puertas, una con un coche y otra con una cabra, las probabilidades de escoger una u otra no sean iguales. Es ese carácter contraintuitivo el que, a mi juicio, provoca que cueste entender la explicación o incluso que la gente se encastille o se enfade cuando se le intenta explicar la solución correcta. Supongo que eso tuvo un papel en el caso de Vos Savant: ¿una mujer pobre e hija de inmigrantes dando una respuesta distinta a la que he dado yo después de mirar el enunciado de forma superficial? ¡Tiene que estar equivocada!

Pero resultó que no lo estaba. Marilyn vos Savant tenía razón y convenció de ello a los airados académicos, que tuvieron que envainarse sus palabras y ceder ante la frialdad de la demostración matemática.

Y por eso me encanta el problema de Monty Hall.




8 comentarios:

  1. Baaaah, bobaaaaahdas

    (chistes de cabras)

    ¿Sabes que hasta que hasta que no mencionaste el machismo de las cartas mi mente no leyó el nombre de la matemática que respondió bien a la pregunta? Como si se hubiera llamado Pepa MacPepón. Luego ya leí el nombre.

    Interesante artículo.

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  2. Hay un modo intuitivo bastante satisfactorio de entender el problema de Monty Hall. Fíjate que el "algoritmo" que usa el presentador es el siguiente:

    1. El presentador sabe qué puerta esconde el premio.
    2. El concursante escoge una puerta, la probabilidad de acertar es pequeña.
    3a. Si el concursante ha acertado (caso menos probable), el presentador abre todas salvo una puerta.
    3b. Si el concursante ha fallado (caso más probable), el presentador abre TODAS LAS PUERTAS menos la premiada y la escogida (al ser tres, abre solo una).

    Ahora aplica el algoritmo a 100 puertas, con un solo premio. La probabilidad del caso 3a es ínfima, de modo que tenemos:

    1 puerta escogida inicialmente.
    98 abiertas a posteriori.
    Y la que deja cerrada el presentador, con una probabilidad elevadísima de contener el premio.

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    1. Pues yo ése fue uno de los métodos que leí varias veces sin terminar de entenderlo. Como no pillaba la relevancia de que se hiciera el cambio de puerta, porque no entendía que te permite "darle la vuelta" a tu probabilidad, me daban igual tres que cien.

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  3. Y a mí me encanta tu blog :-)
    Gracias por explicarme tan sencillamente un problema que en su momento no comprendí.

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    1. Me alegro de haberte ayudado a comprenderlo. ¡Gracias por comentar!

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  4. "ceder ante la frialdad de la demostración matemática" Fíjate, quizás fue por esta razón que yo tiré por las ciencias puras en lugar de por letras (que intuitivamente se me da mejor), porque me gustaba esa frialdad que comentas...la verdad es la verdad la digas tú o el vecino del cuarto, números mediante. Siempre me gustó esa falta de ambigüedad y esa justicia. En este caso que comentas, está más que claro. Te puede picar el resultado porque te deja tu ego de académico rancio y machistilla por los suelos, pero los números no tienen piedad. Ajo y agua.


    Y yendo al problema en cuestión, nunca me lo habá planteado, soy así de rubia. Tras leerlo y reliarme con la explicación, lo que pillo intuitivamente es que la probabilidad hay que contarla desde el principio 2/3 frente a 1/3 y no tras que te enseñen la puerta (50%). La probabilidad es la misma que al principio, sólo que al haberte destapado una cabra, tu probabilidad real está aumentada. O algo así. :-S

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    1. Yo hice Derecho y Ciencias Políticas. En Derecho menos, porque aunque no sea ciencia sí se exige una cierta rigurosidad a la hora de razonar, pero en la otra carrera... A veces las clases eran desasosegante. Todo valía, todo era opinable, no había nada fijo ni seguro. Y bueno, la cosa evolucionó en que el título de Ciencias Políticas no me he molestado ni en comprarlo xD

      Claro, hay que contarlo desde el principio, porque tu probabilidad de elegir una puerta con cabra es de 2/3. Al abrirse una de las puertas ya sabes que, si estás delante de una puerta con cabra (lo cual tiene una probabilidad de 2/3), cambiar tu opción te va a llevar siempre hasta el coche.

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